Das Prinzip der kleinsten Wirkung, auch Hamiltonsches Prinzip genannt, ist ein Grundprinzip der Theoretischen Physik, aus dem die grundlegenden Bewegungsgesetze in vielen Teilgebieten der Physik hergeleitet werden können. Unser bisheriges physikalisches Wissen gibt jedoch keinen Hinweis, warum dieses Prinzip universell gültig ist.
In der klassischen Deutung besagt das Hamiltonsche Prinzip, dass ein Teilchen stets denjenigen Pfad nimmt, bei dem die Wirkung minimal wird. In der quantenphysikalischen Deutung nimmt ein Teilchen jeden möglichen Pfad, wobei jeder Pfad mit seiner jeweiligen Wirkung gewichtet wird und über alle überhaupt möglichen Pfade integriert wird.
Die Wirkung ist eine physikalische Größe mit der Einheit J·s = kg·m2/s. Im Unterschied zu anderen physikalischen Größen gibt es kein Messgerät, mit dem man die Wirkung direkt misst, sondern man erhält die Wirkung durch Berechnung aus anderen Größen. Die Größe "Wirkung" erhält man, wenn man das Produkt aus Energie (Einheit J) und Zeit (Einheit s) bildet oder das Produkt aus Impuls (Einheit kg·m/s) und Wegstrecke (Einheit m).
Das Prinzip der kleinsten Wirkung bedeutet also, dass ein Teilchen denjenigen Weg zwischen einem festgelegten Anfangs- und Endpunkt wählt, bei dem es mit möglichst wenig Energieaufwand am schnellsten ankommt bzw. bei dem es mit einem möglichst kleinen Impuls die kürzeste Strecke nimmt. Anstelle der Bezeichnung "Wirkung" wäre daher wohl die Bezeichnung „Aufwand“ intuitiver gewesen, denn letztlich besagt das Prinzip der minimalen Wirkung nichts anderes, als dass in der Natur immer der Weg des geringsten Aufwands gewählt wird.
Fachlich versierte Leser mögen an dieser Stelle einwenden, dass in der Physik heute nicht mehr vom "Prinzip der kleinsten Wirkung" gesprochen wird, sondern vom "Prinzip der extremalen Wirkung". Dies hat damit zu tun, dass man bei der praktischen Anwendung des Prinzips meist einen mathematischen Trick benutzt, mit dem man einen Extremalwert für die Wirkungsfunktion erhält. Rein mathematisch lässt sich also nicht sagen, ob die Wirkung bei der gefundenen Lösung minimal oder maximal wird. Physikalisch betrachtet ist es gleichwohl naheliegender, dass in der Natur nur solche Lösungen realisiert sind, bei denen der Aufwand an Energie und Zeit bzw. Wegstrecke und Impuls möglichst klein sind.
Aus dem Prinzip der extremalen Wirkung lassen sich in allen Teilgebieten der Physik die jeweiligen Bewegungsgesetze herleiten, d.h. die mathematisch formulierten Regeln für die zeitliche Veränderung, herleiten. Dazu zählen u.a.:
- Brechungsgesetz der Optik
- Lorentz-Gleichungen der Elektrodynamik
- Newtonschen Bewegungsgleichungen der Klassischen Mechanik
- Schrödinger-Gleichung der Quantenmechanik
- Bewegungsgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie
Auf die Frage, warum die Bewegungsgesetze der Physik dem Prinzip der minimalen Wirkung gehorchen, hat die Physik keine Antwort parat. Die universelle Gültigkeit des Prinzips der kleinsten Wirkung ist ein höchst bemerkenswerter Umstand, zumal es sich bei der Wirkung um eine abstrakte Größe handelt, die anders als Zeit oder Energie nicht unmittelbar gemessen werden kann. Bei einer weiteren Vertiefung unseres physikalischen Wissens sollten wir eine Erklärung finden, weshalb die Wirkung eine fundamentale Rolle bei der Herleitung der physikalischen Gesetze spielt.
Lösungsansatz:
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